Exemple de filtres

Voici la présentation et l’analyse de quelques filtres courants utilisés dans le cadre de l’amplification en tension.

Amplificateur inverseur avec filtre passe-haut

Le schéma ci-dessous représente un circuit jouant le rôle d’amplificateur inverseur et de filtre passe-haut.

Analyse mathématique

Ce qui a déjà été déduit du comportement de l’amplificateur opérationnel en montage inverseur peut être généralisé au cas d’une impédance complexe en lieu et place de la résistance entre $V_{in}$ et l’entrée $-$. On obtient donc comme fonction de transfert

$$T(\omega )=-\frac{R_2}{Z_1}=-\frac{R_2}{R_1+\frac{1}{j\omega C}},$$

où $Z_1$ représente la résistance $R_1$ et le condensateur en série.

En factorisant $R_1$ au dénominateur, on obtient la fonction de transfert suivante:

$$T(\omega )=-\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{1+\frac{1}{j\omega R_{1}C}}.$$

On peut donc écrire la fonction de transfert comme le produit de 2 fonctions:

• $R_2/R_1$ : une fonction de transfert constante qui ne dépend pas de la fréquence et qui représente le gain d’un amplificateur inverseur sans filtre

• $\frac{1}{1+1/(j\omega R_{1}C)}$ : une fonction de transfert qui dépend de la fréquence et qui correspond à celle d’un filtre passe-haut.

On peut donc conclure que le circuit se comporte exactement comme un filtre passe-haut dont le gain à haute fréquence est de $R_2/R_1$ au lieu de 1.

Diagramme de Bode

Étant donné ce qui a été décrit ci-dessus, le diagramme de Bode du circuit est celui du filtre passe-haut classique relevé de $R_2/R_1$ exprimé en dB. Voici un exemple de diagramme de Bode avec $R_1=1\text{k}\mathrm{\Omega }$, $R_2=10\text{k}\mathrm{\Omega }$ et $C=1\mu \text{F}$. Sur ce diagramme,

• la courbe verte représente le filtre passe-haut seul

• la courbe bleue représente le filtre passe-haut avec l’amplificateur inverseur

On remarque que

• L’amplitude est bien relevée de 20 dB (puisque le gain est de 10).

• Le déphasage à la même allure mais est décalé de 180°. Ce déphasage provient du signe $-$ devant le gain de l’amplificateur inverseur.

Amplificateur non-inverseur avec filtre passe-haut

Le schéma ci-dessous représente un circuit jouant le rôle d’amplificateur non-inverseur et de filtre passe-haut.

Note

Ce circuit est très précieux : il permet de conserver la composante DC sans l’amplifier tout en apportant un gain au signal utile, comme nous allons le démontrer.

Analyse mathématique

En repartant de la fonction de transfert connue de l’amplificateur non-inverseur, on peut écrire la fonction de transfert du circuit comme

$$T(\omega )=\frac{R_1+Z_2}{Z_2}=\frac{R_1+R_2+\frac{1}{j\omega C}}{R_2+\frac{1}{j\omega C}},$$

avec $Z_2$ représentant la résistance $R_2$ et le condensateur en série.

En divisant le numérateur et le dénominateur par $R_2$, on obtient

$$T(\omega )=\frac{\frac{R_1+R_2}{R_2}+\frac{1}{j\omega C{R}_2}}{1+\frac{1}{j\omega R_{2}C}}=\frac{T_{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{j\omega C{R}_2}}{1+\frac{1}{j\omega R_{2}C}},$$

avec $T_{\mathrm{\infty }}$ qui représente le gain du circuit à très haute fréquence (donc sans filtre).

Analyse asymptotique

La forme donnée ci-dessus n’est pas aussi séduisante que celle de l’amplificateur inverseur, et il est difficile d’en tirer des conclusions. Cependant, si on fait l’hypothèse que $T_{\mathrm{\infty }}>>1$, on peut découper le domaine fréquentiel en 3 zones bien distinctes:

• A très basse fréquence ($1/j\omega R_{2}C>>T_{\mathrm{\infty }}>>1$), le circuit a un gain de 1

• A moyenne fréquence ($1<<1/j\omega R_{2}C<<T_{\mathrm{\infty }}$), le numérateur est dominié par $T_{\mathrm{\infty }}$ et mais le dénominateur est dominé par $1/j\omega R_{2}C$. Le gain croit donc de linéairement avec la fréquence (de 20dB par décade)

• A haute fréquence ($T_{\mathrm{\infty }}>>1>>1/j\omega R_{2}C$), le circuit a un gain de $T_{\mathrm{\infty }}$.

Note

Il n’est possible d’obtenir le domaine de moyenne fréquence que si $T_{\mathrm{\infty }}>>1$, d’où l’importance de notre hypothèse de départ.

Il y a donc 2 points de basculement (transition entre un comportement asymptotique et un autre):

• ${\omega }_{c_1}=1/(R_{2}C{T}_{\mathrm{\infty }})$, on passe du gain unitaire à l’acroissement de 20dB par décade

• ${\omega }_{c_2}=1/(R_{2}C)$, on passe de l’acroissement de 20dB par décade à un gain de $T_{\mathrm{\infty }}$.

Diagramme de Bode

Voici le diagramme de Bode réel et asymptotique de ce filtre avec

• $R_1=99k\mathrm{\Omega }$

• $R_2=1k\mathrm{\Omega }$

• $C=1\mu F$

On obtient donc

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rcl}{T}_{\mathrm{\infty }}& =& 100\\ {\omega }_{c_1}& =& \frac{1}{R_{2}C{T}_{\mathrm{\infty }}}=10Hz\\ {\omega }_{c_2}& =& \frac{1}{R_{2}C}=1kHz\end{array}\end{array}$$