Exemple de filtres#

Voici la présentation et l’analyse de quelques filtres courants utilisés dans le cadre de l’amplification en tension.

Amplificateur inverseur avec filtre passe-haut#

Le schéma ci-dessous représente un circuit jouant le rôle d’amplificateur inverseur et de filtre passe-haut.

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Analyse mathématique#

Ce qui a déjà été déduit du comportement de l’amplificateur opérationnel en montage inverseur peut être généralisé au cas d’une impédance complexe en lieu et place de la résistance entre Vin et l’entrée . On obtient donc comme fonction de transfert

T(ω)=R2Z1=R2R1+1jωC,

Z1 représente la résistance R1 et le condensateur en série.

En factorisant R1 au dénominateur, on obtient la fonction de transfert suivante:

T(ω)=R2R111+1jωR1C.

On peut donc écrire la fonction de transfert comme le produit de 2 fonctions:

  • R2/R1 : une fonction de transfert constante qui ne dépend pas de la fréquence et qui représente le gain d’un amplificateur inverseur sans filtre

  • 11+1/(jωR1C) : une fonction de transfert qui dépend de la fréquence et qui correspond à celle d’un filtre passe-haut.

On peut donc conclure que le circuit se comporte exactement comme un filtre passe-haut dont le gain à haute fréquence est de R2/R1 au lieu de 1.

Diagramme de Bode#

Étant donné ce qui a été décrit ci-dessus, le diagramme de Bode du circuit est celui du filtre passe-haut classique relevé de R2/R1 exprimé en dB. Voici un exemple de diagramme de Bode avec R1=1kΩ, R2=10kΩ et C=1μF. Sur ce diagramme,

  • la courbe verte représente le filtre passe-haut seul

  • la courbe bleue représente le filtre passe-haut avec l’amplificateur inverseur

On remarque que

  • L’amplitude est bien relevée de 20 dB (puisque le gain est de 10).

  • Le déphasage à la même allure mais est décalé de 180°. Ce déphasage provient du signe devant le gain de l’amplificateur inverseur.

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Amplificateur non-inverseur avec filtre passe-haut#

Le schéma ci-dessous représente un circuit jouant le rôle d’amplificateur non-inverseur et de filtre passe-haut.

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Note

Ce circuit est très précieux : il permet de conserver la composante DC sans l’amplifier tout en apportant un gain au signal utile, comme nous allons le démontrer.

Analyse mathématique#

En repartant de la fonction de transfert connue de l’amplificateur non-inverseur, on peut écrire la fonction de transfert du circuit comme

T(ω)=R1+Z2Z2=R1+R2+1jωCR2+1jωC,

avec Z2 représentant la résistance R2 et le condensateur en série.

En divisant le numérateur et le dénominateur par R2, on obtient

T(ω)=R1+R2R2+1jωCR21+1jωR2C=T+1jωCR21+1jωR2C,

avec T qui représente le gain du circuit à très haute fréquence (donc sans filtre).

Analyse asymptotique#

La forme donnée ci-dessus n’est pas aussi séduisante que celle de l’amplificateur inverseur, et il est difficile d’en tirer des conclusions. Cependant, si on fait l’hypothèse que T>>1, on peut découper le domaine fréquentiel en 3 zones bien distinctes:

  • A très basse fréquence (1/jωR2C>>T>>1), le circuit a un gain de 1

  • A moyenne fréquence (1<<1/jωR2C<<T), le numérateur est dominié par T et mais le dénominateur est dominé par 1/jωR2C. Le gain croit donc de linéairement avec la fréquence (de 20dB par décade)

  • A haute fréquence (T>>1>>1/jωR2C), le circuit a un gain de T.

Note

Il n’est possible d’obtenir le domaine de moyenne fréquence que si T>>1, d’où l’importance de notre hypothèse de départ.

Il y a donc 2 points de basculement (transition entre un comportement asymptotique et un autre):

  • ωc1=1/(R2CT), on passe du gain unitaire à l’acroissement de 20dB par décade

  • ωc2=1/(R2C), on passe de l’acroissement de 20dB par décade à un gain de T.

Diagramme de Bode#

Voici le diagramme de Bode réel et asymptotique de ce filtre avec

  • R1=99kΩ

  • R2=1kΩ

  • C=1μF

On obtient donc

{T=100ωc1=1R2CT=10Hzωc2=1R2C=1kHz
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